矩阵分解在推荐系统中的地位非常崇高,恐怕本专栏介绍的其他算法模型都不能轻易地撼动它。
它既有协同过滤的血统,又有机器学习的基因,可以说是非常优秀了;但即便如此,传统的矩阵分解无论是在处理显式反馈,还是处理隐式反馈都让人颇有微词,这一点是为什么呢?
前面我讲过的两种矩阵分解,本质上都是在预测用户对一个物品的偏好程度,哪怕不是预测评分, 只是预测隐式反馈,也难逃这个事实,因为算法展现出来的目标函数就出卖了这一切。
得到这样的矩阵分解结果后,常常在实际使用时,又是用这个预测结果来排序。所以,从业者们口口声声宣称想要模型的预测误差最小化,结果绕了一大圈最后还是只想要一个好点的排序,让人不禁感叹:人心总是难测。
这种针对单个用户对单个物品的偏好程度进行预测,得到结果后再排序的问题,在排序学习中的行话叫做point-wise,其中point意思就是:只单独考虑每个物品,每个物品像是空间中孤立的点一样。
与之相对的,还有直接预测物品两两之间相对顺序的问题,就叫做pair-wise,pair,顾名思义就是成对成双,也许恐怕这类模型对单身的人士不是很友好。
前面讲的矩阵分解都属于point-wise模型。这类模型的尴尬是:只能收集到正样本,没有负样本,于是认为缺失值就是负样本,再以预测误差为评判标准去使劲逼近这些样本。逼近正样本没问题,但是同时逼近的负样本只是缺失值而已,还不知道真正呈现在用户面前,到底是不喜欢还是喜欢呢?
虽然这些模型采取了一些措施来规避这个问题,比如负样本采样,但是尴尬还是存在的,为了排序而绕路也是事实。
既然如此,能不能直面问题,采用pair-wise来看待矩阵分解呢?当然能,不然我也不会写出这一篇专栏文章了。
其实人在面对选择时,总是倾向矮子中选高个子,而不是真的在意身高到底是不是180,因此,更直接的推荐模型应该是:能够较好地为用户排列出更好的物品相对顺序,而非更精确的评分。
这个问题已经有可爱的从业者们提出了方法,就是本文的主角:贝叶斯个性化排序,简称BPR模型。下面,我就带你一探这个模型的究竟。
在前面的专栏文章中,有一个词叫做均方根误差,被我提过多次,用于评价模型预测精准程度的。那么现在要关注的是相对排序,用什么指标比较好呢?答案是AUC,AUC全称是Area Under Curve,意思是曲线下的面积,这里的曲线就是 ROC 曲线。
但是,我不打算继续解释什么是 ROC 曲线了,那是它的原始定义,而我想跟你悄悄说的是另一件事,AUC这个值在数学上等价于:模型把关心的那一类样本排在其他样本前面的概率。最大是1,完美结果,而0.5就是随机排列,0就是完美地全部排错。
听到这个等价的AUC解释,你是不是眼前一亮?这个非常适合用来评价模型的排序效果,比如说,得到一个推荐模型后,按照它计算的分数,能不能把用户真正想消费的物品排在前面?这在模型上线前是可以用日志完全计算出来的。
AUC怎么计算呢?一般步骤如下。
我在文稿中放了这个公式,你可以点击查看。
\[AUC = \\frac{\\sum_{i\\in(样本)}{r_{i}} - \\frac{M\\times{(M+1)}}{2}}{M\\times{N}}\]
这个公式看上去复杂,其实很简单,由两部分构成:
第一部分: 分母是所有我们关心的那类样本,也就是正样本,有M个,以及其他样本有N个,这两类样本相对排序总共的组合可能性,是M x N;
第二部分: 分子也不复杂,原本是这样算的:第一名的排序值是r1,它在排序上不但比过了所有的负样本,而且比过了自己以外的正样本。
但后者是自己人,所以组合数要排除,于是就有n - M种组合,以此类推,排序值为rM的就贡献了rM - 1,把这些加起来就是分子。
关于AUC,越接近1越好是肯定的,但是并不是越接近0就越差,最差的是接近0.5,如果AUC很接近0的话,只需要把模型预测的结果加个负号就能让AUC接近1,具体的原因自行体会。
好了,已经介绍完排序的评价指标了,该主角出场了,BPR模型,它提出了一个优化准则和学习框架,使得原来传统的矩阵分解放进来能够焕发第二春。
那到底BPR做了什么事情呢?主要有三点:
通过这套三板斧,便可以脱离评分预测,来做专门优化排序的矩阵分解。下面详细说说这三板斧。
前面介绍的矩阵分解,在训练时候处理的样本是:用户、物品、反馈,这样的三元组形式。
其中反馈又包含真实反馈和缺失值,缺失值充当的是负样本职责。BPR则不同,提出要关心的是物品之间对于用户的相对顺序,于是构造的样本是:用户、物品1、物品2、两个物品相对顺序,这样的四元组形式,其中,“两个物品的相对顺序”,取值是:
这样一来,学习的数据是反应用户偏好的相对顺序,而在使用时,面对的是所有用户还没消费过的物品,这些物品仍然可以在这样的模型下得到相对顺序,这就比三元组point-wise样本要直观得多。
现在,每条样本包含的是两个物品,样本预测目标是两个物品的相对顺序。按照机器学习的套路,就该要上目标函数了。
要看BPR怎么完成矩阵分解,你依然需要像交替最小二乘那样的思想。
先假装矩阵分解结果已经有了,于是就计算出用户对于每个物品的推荐分数,只不过这个推荐分数可能并不满足均方根误差最小,而是满足物品相对排序最佳。
得到了用户和物品的推荐分数后,就可以计算四元组的样本中,物品1和物品2的分数差,这个分数可能是正数,也可能是负数,也可能是0。
你和我当然都希望的情况是:如果物品1和物品2相对顺序为1,那么希望两者分数之差是个正数,而且越大越好;如果物品1和物品2的相对顺序是0,则希望分数之差是负数,且越小越好。
用个符号来表示这个差:Xu12,表示的是对用户u,物品1和物品2的矩阵分解预测分数差。然后再用 sigmoid 函数把这个分数差压缩到0到1之间。
\[\\Theta = \\frac{1}{1 + e^{-(X_{u12})}}\]
也其实就是用这种方式预测了物品1排在物品2前面的似然概率,所以最大化交叉熵就是目标函数了。
目标函数通常还要防止过拟合,加上正则项,正则项其实认为模型参数还有个先验概率,这是贝叶斯学派的观点,也是BPR这个名字中“贝叶斯”的来历。
BPR认为模型的先验概率符合正态分布,对应到正则化方法就是L2正则,这些都属于机器学习的内容,这里不展开讲。
我来把目标函数写一下:
\[\\prod_{u,i,j}{p(i>_ {u}j | \\theta)p(\\theta)}\]
所有样本都计算:模型参数先验概率p theta,和似然概率的乘积,最大化这个目标函数就能够得到分解后的矩阵参数,其中theta就是分解后的矩阵参数。
最后说一句,把这个目标函数化简和变形后,和把AUC当成目标函数是非常相似的,也正因为如此,BPR模型的作者敢于宣称该模型是为AUC而生的。
有了目标函数之后,就要有请训练方法了。显然是老当益壮的梯度下降可以承担这件事,梯度下降又有批量梯度和随机梯度下降两个选择,前者收敛慢,后者训练快却不稳定。因此BPR的作者使用了一个介于两者之间的训练方法,结合重复抽样的梯度下降。具体来说是这样做的:
这样,就得到了一个更符合推荐排序要求的矩阵分解模型了。
今天是矩阵分解三篇的最后一篇,传统的矩阵分解,无论是隐式反馈还是显式反馈,都是希望更加精准地预测用户对单个物品的偏好,而实际上,如果能够预测用户对物品之间的相对偏好,则更加符合实际需求的直觉。
BPR就是这样一整套针对排序的推荐算法,它事实上提出了一个优化准则和一个学习框架,至于其中优化的对象是不是矩阵分解并不是它的重点。
但我在这里结合矩阵分解对其做了讲解,同时还介绍了排序时最常用的评价指标AUC及其计算方法。
你在看了BPR算法针对矩阵分解的推荐计算过程之后,试着想一想,如果不是矩阵分解,而是近邻模型,那该怎么做?欢迎留言给我,一起聊聊。