我们都知道,计算机的起源是数学中的二进制计数法。可以说,没有二进制,就没有如今的计算机系统。那什么是二进制呢?为什么计算机要使用二进制,而不是我们日常生活中的十进制呢?如何在代码中操作二进制呢?专栏开始,我们就从计算机认知的起源——二进制出发,讲讲它在计算机中的“玄机”。
为了让你更好地理解二进制计数法,我们先来简单地回顾一下人类计数的发展史。
原始时代,人类用路边的小石子,来统计放牧归来的羊只数量,这表明我们很早就产生了计数的意识。后来,罗马人用手指作为计数的工具,并在羊皮上画出Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ来代替手指的数量。表示一只手时,就写成“Ⅴ”形,表示两只手时,就画成“ⅤⅤ”形等等。
公元3世纪左右,印度数学家(也有说法是阿拉伯人)发明了阿拉伯数字。阿拉伯数字由从0到9这样10个计数符号组成,并采取进位制法,高位在左,低位在右,从左往右书写。由于阿拉伯数字本身笔画简单,演算便利,因此它们逐渐在各国流行起来,成为世界通用的数字。
日常生活中,我们广泛使用的十进制计数法,也是基于阿拉伯数字的。这也是十进制计数法的基础。因此,相对其他计数方法,十进制最容易被我们所理解。
让我们来观察一个数字:2871。
其中^表示幂或次方运算。十进制的数位(千位、百位、十位等)全部都是10^n的形式。需要特别注意的是,任何非0数字的0次方均为1。在这个新的表示式里,10被称为十进制计数法的基数,也是十进制中“十”的由来。这个我想你应该好理解,因为这和我们日常生活的习惯是统一的。
明白了十进制,我们再试着用类似的思路来理解二进制的定义。我以二进制数字110101为例,解释给你听。我们先来看,这里110101究竟代表了十进制中的数字几呢?
刚才我们说了,十进制计数是使用10作为基数,那么二进制就是使用2作为基数,类比过来,二进制的数位就是2^n的形式。如果需要将这个数字转化为人们易于理解的十进制,我们就可以这样来计算:
按照这个思路,我们还可以推导出八进制(以8为基数)、十六进制(以16为基数)等等计数法,很简单,我在这里就不赘述了。
至此,你应该已经理解了什么是二进制。但是仅有数学的理论知识是不够的,结合相关的代码实践,相信你会有更深刻的印象。
基于此,我们来看看二进制和十进制数在Java语言中是如何互相转换的,并验证一下我们之前的推算。我这里使用的是Java语言来实现的,其他主流的编程语言实现方式都是类似的。
这段代码的实现采用了Java的BigInteger类及其API函数,我都加了代码注释,并且穿插一些解释,你应该可以看懂。
首先,我们引入BigInteger包,通过它和Integer类的API函数进行二进制和十进制的互相转换。
import java.math.BigInteger;
public class Lesson1_1 {
/**
* @Description: 十进制转换成二进制
* @param decimalSource
* @return String
*/
public static String decimalToBinary(int decimalSource) {
BigInteger bi = new BigInteger(String.valueOf(decimalSource)); //转换成BigInteger类型,默认是十进制
return bi.toString(2); //参数2指定的是转化成二进制
}
/**
* @Description: 二进制转换成十进制
* @param binarySource
* @return int
*/
public static int binaryToDecimal(String binarySource) {
BigInteger bi = new BigInteger(binarySource, 2); //转换为BigInteger类型,参数2指定的是二进制
return Integer.parseInt(bi.toString()); //默认转换成十进制
}
}
然后,我们通过一个十进制数和一个二进制数,来验证一下上述代码的正确性。
public static void main(String[] args) {
int a = 53;
String b = "110101";
System.out.println(String.format("数字%d的二进制是%s", a, Lesson1_1.decimalToBinary(a))); //获取十进制数53的二进制数
System.out.println(String.format("数字%s的十进制是%d", b, Lesson1_1.binaryToDecimal(b))); //获取二进制数110101的十进制数
}
这段代码运行的结果是:十进制数字53的二进制是110101,二进制数字110101的十进制是53。
好了,关于十进制和二进制的概念以及进制之间的相互转换,你应该都很清楚了。既然有十进制,又有二进制,你可能就要问了,为啥计算机使用的是二进制而不是十进制呢?
我觉得,计算机使用二进制和现代计算机系统的硬件实现有关。组成计算机系统的逻辑电路通常只有两个状态,即开关的接通与断开。
断开的状态我们用“0”来表示,接通的状态用“1”来表示。由于每位数据只有断开与接通两种状态,所以即便系统受到一定程度的干扰时,它仍然能够可靠地分辨出数字是“0”还是“1”。因此,在具体的系统实现中,二进制的数据表达具有抗干扰能力强、可靠性高的优点。
相比之下,如果用十进制设计具有10种状态的电路,情况就会非常复杂,判断状态的时候出错的几率就会大大提高。
另外,二进制也非常适合逻辑运算。逻辑运算中的“真”和“假”,正好与二进制的“0”和“1”两个数字相对应。逻辑运算中的加法(“或”运算)、乘法(“与”运算)以及否定(“非”运算)都可以通过“0”和“1”的加法、乘法和减法来实现。
了解了现代计算机是基于二进制的,我们就来看看,计算机语言中针对二进制的位操作。这里的位操作,也叫作位运算,就是直接对内存中的二进制位进行操作。常见的二进制位操作包括向左移位和向右移位的移位操作,以及“或”“与”“异或”的逻辑操作。下面我们一一来看。
我们先来看向左移位。
二进制110101向左移一位,就是在末尾添加一位0,因此110101就变成了1101010。请注意,这里讨论的是数字没有溢出的情况。
所谓数字溢出,就是二进制数的位数超过了系统所指定的位数。目前主流的系统都支持至少32位的整型数字,而1101010远未超过32位,所以不会溢出。如果进行左移操作的二进制已经超出了32位,左移后数字就会溢出,需要将溢出的位数去除。
在这个例子中,如果将1101010换算为十进制,就是106,你有没有发现,106正好是53的2倍。所以,我们可以得出一个结论:二进制左移一位,其实就是将数字翻倍。
接下来我们来看向右移位。
二进制110101向右移一位,就是去除末尾的那一位,因此110101就变成了11010(最前面的0可以省略)。我们将11010换算为十进制,就是26,正好是53除以2的整数商。所以二进制右移一位,就是将数字除以2并求整数商的操作。
下面我们来看看,用代码如何进行移位操作。
import java.math.BigInteger;
public class Lesson1_2 {
/**
* @Description: 向左移位
* @param num-等待移位的十进制数, m-向左移的位数
* @return int-移位后的十进制数
*/
public static int leftShift(int num, int m) {
return num << m;
}
/**
* @Description: 向右移位
* @param num-等待移位的十进制数, m-向右移的位数
* @return int-移位后的十进制数
*/
public static int rightShift(int num, int m) {
return num >>> m;
}
}
然后,我们用一段测试代码验证下结果。
public static void main(String[] args) {
int num = 53;
int m = 1;
System.out.println(String.format("数字%d的二进制向左移%d位是%d", num, m, Lesson1_2.leftShift(num, m))); //测试向左移位
System.out.println(String.format("数字%d的二进制向右移%d位是%d", num, m, Lesson1_2.rightShift(num, m))); //测试向右移位
System.out.println();
m = 3;
System.out.println(String.format("数字%d的二进制向左移%d位是%d", num, m, Lesson1_2.leftShift(num, m))); //测试向左移位
System.out.println(String.format("数字%d的二进制向右移%d位是%d", num, m, Lesson1_2.rightShift(num, m))); //测试向右移位
}
这段代码的运行结果是:数字53向左移1位是106;数字53向右移1位是26。数字53向左移3位是424,数字53向右移3位是6。
我来解释一下。其中,移位1次相当于乘以或除以2,而移位3次就相当于乘以或除以8(即2的3次方)。细心的话,你可能已经发现,Java中的左移位和右移位的表示是不太一样的。
左移位是<<,那右移位为什么是>>>而不是>>呢?实际上,>>也是右移操作。简单来说,之所以有这两种表达方式,根本原因是Java的二进制数值中最高一位是符号位。这里我给你详细解释一下。
当符号位为0时,表示该数值为正数;当符号位为1时,表示该数值为负数。我们以32位Java为例,数字53的二进制为110101,从右往左数的第32位是0,表示该数是正数,只是通常我们都将其省略。
如果数字是-53呢?那么第32位就不是0,而是1。请注意我这里列出的是补码。
那么这个时候向右移位,就会产生一个问题:对于符号位(特别是符号位为1的时候),我们是否也需要将其右移呢?因此,Java里定义了两种右移,逻辑右移和算术右移。逻辑右移1位,左边补0即可。
算术右移时保持符号位不变,除符号位之外的右移一位并补符号位1。补的1仍然在符号位之后。
逻辑右移在Java和Python语言中使用>>>表示,而算术右移使用>>表示。如果你有兴趣,可以自己编码尝试一下,看看这两种操作符输出的结果有何不同。
在C或C++语言中,逻辑右移和算数右移共享同一个运算符>>。那么,编译器是如何决定使用逻辑右移还是算数右移呢?答案是,取决于运算数的类型。如果运算数类型是unsigned,则采用逻辑右移;而是signed,则采用算数右移。如果你针对unsigned类型的数据使用算数右移,或者针对signed类型的数据使用逻辑右移,那么你首先需要进行类型的转换。
由于左移位无需考虑高位补1还是补0(符号位可能为1或0),所以不需要区分逻辑左移和算术左移。
我们刚才说了,二进制的“1”和“0”分别对应逻辑中的“真”和“假”,因此可以针对位进行逻辑操作。
逻辑“或”的意思是,参与操作的位中只要有一个位是1,那么最终结果就是1,也就是“真”。如果我们将二进制110101和100011的每一位对齐,进行按位的“或”操作,就会得到110111。
同理,我们也可以针对位进行逻辑“与”的操作。“与”的意思是,参与操作的位中必须全都是1,那么最终结果才是1(真),否则就为0(假)。如果我们将二进制110101和100011的每一位对齐,进行按位的“与”操作,就会得到100001。
逻辑“异或”和“或”有所不同,它具有排异性,也就是说如果参与操作的位相同,那么最终结果就为0(假),否则为 1(真)。所以,如果要得到1,参与操作的两个位必须不同,这就是此处“异”的含义。我们将二进制110101和100011的每一位对齐,进行按位的“异或”操作,可以得到结果是10110。
我总结一下,“异或”操作的本质其实就是,所有数值和自身进行按位的“异或”操作之后都为0。而且要通过“异或”操作得到0,也必须通过两个相同的数值进行按位“异或”。这表明了两个数值按位“异或”结果为0,是这两个数值相等的必要充分条件,可以作为判断两个变量是否相等的条件。
接下来,我们来学习一下,在代码中如何实现二进制的逻辑操作。Java中使用|表示按位的“或”,&表示按位“与”,^表示按位“异或”。
import java.math.BigInteger;
public class Lesson1_3 {
/**
* @Description: 二进制按位“或”的操作
* @param num1-第一个数字,num2-第二个数字
* @return 二进制按位“或”的结果
*/
public static int or(int num1, int num2) {
return (num1 | num2);
}
/**
* @Description: 二进制按位“与”的操作
* @param num1-第一个数字,num2-第二个数字
* @return 二进制按位“与”的结果
*/
public static int and(int num1, int num2) {
return (num1 & num2);
}
/**
* @Description: 二进制按位“异或”的操作
* @param num1-第一个数字,num2-第二个数字
* @return 二进制按位“异或”的结果
*/
public static int xor(int num1, int num2) {
return (num1 ^ num2);
}
}
同样,我们写一段测试代码,验证一下上面三个函数。
public static void main(String[] args) {
int a = 53;
int b = 35;
System.out.println(String.format("数字%d(%s)和数字%d(%s)的按位‘或’结果是%d(%s)",
a, decimalToBinary(a), b, decimalToBinary(b), Lesson2_3.or(a, b), decimalToBinary(Lesson1_3.or(a, b)))); //获取十进制数53和35的按位“或”
System.out.println(String.format("数字%d(%s)和数字%d(%s)的按位‘与’结果是%d(%s)",
a, decimalToBinary(a), b, decimalToBinary(b), Lesson2_3.and(a, b), decimalToBinary(Lesson1_3.and(a, b)))); //获取十进制数53和35的按位“与”
System.out.println(String.format("数字%d(%s)和数字%d(%s)的按位‘异或’结果是%d(%s)",
a, decimalToBinary(a), a, decimalToBinary(a), Lesson2_3.xor(a, a), decimalToBinary(Lesson1_3.xor(a, a)))); //获取十进制数53和35的按位“异或”
}
这段代码的运行结果是:数字53(110101)和数字35(100011)的按位‘或’结果是55(110111),数字53(110101)和数字35(100011)的按位‘与’结果是33(100001),数字53(110101)和数字53(110101)的按位‘异或’结果是0(0)。
今天我们聊了二进制,你可能会问:学习二进制究竟有什么用呢?平时的编程中,我们好像并没有使用相关的知识啊?确实,目前的高级语言可以帮助我们将人类的思维逻辑转换为使用0和1的机器语言,我们不用再为此操心了。但是,二进制作为现代计算机体系的基石,这些基础的概念和操作,你一定要非常了解。
二进制贯穿在很多常用的概念和思想中,例如逻辑判断、二分法、二叉树等等。逻辑判断中的真假值就是用二进制的1和0来表示的;二分法和二叉树都是把要处理的问题一分为二,正好也可以通过二进制的1和0来表示。因此,理解了二进制,你就能更加容易地理解很多计算机的数据结构和算法,也为我们后面的学习打下基础。
如果不使用Java语言自带的BigInteger类,我们还有什么方法来实现十进制到二进制的转换呢?(提示:可以使用二进制的移位和按位逻辑操作来实现。)
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